/** ########################## 0/1 背包问题 ####################################### <=动态规划方程===========================================================> f[i][V] 表示当背包总共容量为V的情况下,放i件物品所能获得的最大价值 f[i][V] = max { f[i-1][V], f[i-1][V-w[i]]+p[i] } <=========================================================================> <=算法设计================================================================> 递归算法: f(i,V) { if i equals 0 then do: return 0; if V < w[i] then do: return f(i-1,V); else do: return max(f(i-1,V),f(i-1,V-w[i]+p[i])); } 递推算法: knapsack(int n,int V,int f[][],int p[],int w[]) { for V = 1 to n do: f[0][V] = 0; for i = 1 to n do: { for j = 1 to V do: { if(V<w[j]) f[i][V] = f[i-1][V]; else f[i][V] = max(f(i-1,V),f(i-1,V-w[i]+p[i])); } } traceback(); to get the answer; } <=========================================================================> */ //=======> C语言源代码实现 <======== #include<cstdio> #define MAXN 20 //物品1,2...5的价值 int p[] = {0,6,3,5,4,6}; //物品1,2...5的体积 int w[] = {0,2,2,6,5,4}; //递归算法: 表示当背包总共容量为V的情况下,放i件物品所能获得的最大价值 int f(int i,int V); //递推算法: void knapsack(int n,int V,int ft[][MAXN],int p[],int w[]); //回溯求最优解向量 void traceback(int x[],int n,int ft[][MAXN],int V); //计算最大值 int max(int a,int b); //程序执行入口 int main() { printf("Using a recursive algorithm:\n"); int maxValue = f(5,10); printf("when the count of goods is %d and the total volume of the bag is %d,\nthe maxValue is %d\n\n",5,10,maxValue); printf("Using a recursion algorithm:\n"); int ft[MAXN][MAXN]; knapsack(5,10,ft,p,w); printf("when the count of goods is %d and the total volume of the bag is %d,\nthe maxValue is %d\n",5,10,ft[5][10]); int x[MAXN]; traceback(x,5,ft,10); printf("the best answer is ("); for(int i=1;i<=5;i++) printf("%d,",x[i]); printf(")\n"); return 0; } int max(int a,int b){ return a>b?a:b; } //递归实现 p[] = {0,6,3,5,4,6}; w[] = {0,2,2,6,5,4}; 注意p,w中0只是拿来填充index = 0的时候没什么意义 int f(int i,int V) { //当背包里面物品为0个的时候,价值当然为0 if(i==0) return 0; //当所放物品的体积超过背包所提供最大体积 //当然不能考虑把这个物品放入背包的情况 if (V < w[i]) return f(i-1,V); //当情况不是上面那样的时候 //就要考虑把当前 i 物品放入背包 else return max(f(i-1,V),f(i-1,V-w[i])+p[i]); } //递推算法 p[] = {0,6,3,5,4,6}; w[] = {0,2,2,6,5,4}; 注意p,w中0只是拿来填充index = 0的时候没什么意义 void knapsack(int n,int V,int ft[][MAXN],int p[],int w[]) { //初始化 for(int i=0;i<=V;i++){ ft[0][i] = 0; } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=V;j++) { if(j<w[i]) ft[i][j] = ft[i-1][j]; else ft[i][j] = max(ft[i-1][j],ft[i-1][j-w[i]]+p[i]); } } } //回溯寻找最优解向量 void traceback(int x[],int n,int ft[][MAXN],int V) { //基本思路就是在最优解成立情况下,如果i物品被放进背包(即x[i] = 1) //那么ft[i][V]就是对应的最优子结构,这样给剩下物品提供的总体积减少w[i] //如果i物品不放进背包那么x[i] = 0,当然给剩下物品的总体积不变 for(int i=1;i<=n;i++){ //这一步比较就是来说明i物品有没有放进去 //如果放进去f[i][V]和f[i-1][V]肯定是不会相同的 if(ft[i][V]==ft[i-1][V]) x[i] = 0; else{ x[i] = 1; V-=w[i]; } } }
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